浅谈一下全国一卷数学此处浅谈
浅谈一下全国一卷数学
此处先说结论吧
这是一张很好的试卷，今年试卷所谓的 '难' 体现在往年的送分题（特别是各大题第一问）今年不再送分，往年大题第一问送分，第二问才是主要的，而今年第一问第二问的难度梯度基本持平了
但对于数学基础扎实的人来说做起来其实无二异。
6月8日晚9点再次更新
鉴于评论区大家争论不休，我这边也再说一下我个人的一些想法。
我并没有任何说风凉话的意思，更没有显摆的意思。这是一份很好的试卷，出题者水平很高。在没有超纲题、超难题浅谈一下全国一卷数学此处浅谈，每一道题单独拿出来看都不算很难的情况下，整份试卷难度不低。我之前就说了，要想考好这份试卷，必须基础扎实。
很多人似乎对基础扎实有误解，基础扎实无关平时能考多少分，因为同样平时考120分的两个人可能基础扎实程度天差地别。
近些年来数学试卷的风格一直是送分题中低档题占主导，再用一两问超难题，拉高整份试卷难度系数。
所以数学老师们都反复强调，要把送分题容易题全部拿到手，平时的训练也是围绕这块展开。
但是渐渐的，越来越多的人急功近利，通过背模板，背套路，背公式，背各种一级结论、二级结论，最后也能取得不俗的成绩。
现在很多人觉得试卷就该如此，本该如此，出今年这种试卷就是让这些“中档生”没有活路。
但这些真的可以说是中档生吗，我对中档生的理解是，基础扎实，只是缺乏一些灵活思维。
而什么是基础扎实呢，有些人觉得平时能考120那就叫基础扎实，有些人说能熟练运用各种结论就叫基础扎实。但我觉得这些都不是。我所认为的基础扎实用一言蔽之就是“知其然，更要知其所以然”。
数学最基础的是各种定义数学拆补法，定义之上是各种定理，定理之上才是各种结论，结论之上才是各类技巧。而现状就是太多人不明定义，不解定理，直接熟背各种结论公式，模仿各种技巧，当遇到千篇一律的试卷那自然得心应手。当遇到一张反套路的试卷，先前的技巧套路便直接失效或者没法直接用，心态紧张，乱了节奏，但依然没有悔之晚矣，而是责怪命题人不为他们这些群体考虑。
可能这样说有些人还是不理解，那我举几个具体的例子吧，我也带过一些学生，对此也能有一点话语权。
就拿椭圆的直角坐标公式来说吧，我带过几个高三的学生，他们竟然连椭圆直角坐标方程都不知道是如何推导的。首先这是对椭圆第一定义不熟，当然我点拨后他想起来了，但依然没想到要用距离公式来进行推导。而能够说出圆锥曲线统一定义的更是少之又少。顺便也说下圆，很多人也答不上来，圆的定义是平面上到一顶点距离相等的点的集合。再拿等差等比数列求和公式来说，这些他们能背的比谁都熟练。我问他们这个公式是怎么来的，他们答不上来。我当时之所以问这个是发现很多学生等差数列求和很爱用n和d表示的那个式子，但是常常因为下标弄混淆而算错，而首项加尾项，乘以项数，除以2，（倒序相加）他们却很很不熟。再比如很多人甚至不知道二倍角公式来源于角和差公式的特殊情况。再比如很多人连导致的几何意义是什么都不清楚，或者起码无法在第一时间答上来，这些本应该在最初学定义时就该刻于心中。
诸如此类的还有很多很多。定义是数学这座大厦的根基，如果连各类定义都无法熟练说出来，其余一切都只是空中楼阁，顷刻间就会崩塌。
我之所以写本篇感想，还是在昨天高考完看到试卷后就来写，是因为我看到这些年千篇一律的试卷这次终于发生了改变，所以激动无比，相与大家分享一下。却未曾想到对诸多考生造成了困扰。
这次高考注定很残酷，但这个世界何尝不残酷，考生每年都在以数以百万计的速度增长，旧的风格未必再适用于今天。最后希望中国的教育能越办越好，
6点多时候看到整份试卷，扫完一遍，基本都是常规题浅谈一下全国一卷数学此处浅谈，一道非常难的题都没看到。
为什么都在喊难，有些公众号甚至宣称史上最难。
于是我仔仔细细又看了一遍题目，分析出一些原因来。
往年的数学，大题的第一问基本就是送分的，哪怕是最后一题的第一问。
但是今年的试卷，大题第一问的门槛大幅度提高了。
一、在看大题之前先看一下呼声很高的第7题
首先粗略估算一下
0.1(1+0.1)=0.11\\ c&=-\ln0.9=\ln\frac{10}{9}0.1(1+0.1)=0.11\\ c&=-\ln0.9=\ln\frac{10}{9}0 \end{}">\begin{} g'(x)&=(x+1)e^x-\frac{1}{1-x}\\ &=\frac{(1-x^2)e^x-1}{1-x}\\ &>\frac{(1-x^2)(1+x)-1}{1-x}\\ &=\frac{-x(x^2+x-1)}{1-x}\\ &>0 \end{}
所以 c">a>c
综上 c
二、浅谈一下第一大题数列
数列放第一题其实很少见，且这题的难度会比往常第一大题的难度要难一些。基础不扎实，这道题没做出来的话，那确实会心态崩。
但有一说一 S_n=\frac{n+2}{3}a_n 这个递推式真的很基础，既有 S_n 又有 a_n ，不就是借助 S_n-S_{n-1}=a_n 来进行计算嘛，可以得到
(n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}
接下来除一下累乘就出来了，当然如果你做得多的话可以想到再同除 n，计算会稍微简单一些
\frac{a_n}{n(n+1)}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)n}=\cdots=\frac{a_1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}
第二问就更不用说了，最简单的裂项
三、以第21题第一问为例
这一问的计算量不小，显然不是送分题了，接近往年常规圆锥曲线题第二问的计算量
首先很容易得到 a=\sqrt{2} ，故双曲线方程为 \frac{x^2}{2}-y^2=1
此处特地用常规方法进行计算（否则用平移坐标系数学拆补法，将A点作为原点会计算少很多）
设 P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2) ，所以斜率和为0可以得到 \frac{y_1-1}{x_1-2}+\frac{y_2-1}{x_2-2}=0
化简得（本人喜欢将条件化到最简再联立）
\begin{} &(x_1-2)(1-y_2)=(y_1-1)(x_2-2)\\ \ \quad & x_1--2+2y_2=-2y_1-x_2+2\\ \ \quad & x_1+x_2+2(y_1+y_2)=++4\\ \ \quad & (2k+1-b)(x_1+x_2)+4b=2k +4 \end{}
联立一下，可以得到 x_1+x_2=\frac{-4kb}{2k^2-1},\; =\frac{2(b^2+1)}{2k^2-1}
代入可得 \frac{-4kb(2k+1-b)+4b(2k^2-1)}{2k^2-1}=\frac{4k(b^2+1)+8k^2-4}{2k^2-1}
消一下同类项就可得到 (k+1)b+2k^2+k-1=0
所以 \left\{\begin{array}{l} k+1=0 \\ 2 k^{2}+k-1=0 \end{array}\right. \quad\\quad k=-1
我自己算了5分钟不到。
而第二问其实也很常规，数据稍微复杂点
首先依然从结果出发，面积用 \frac{1}{2}\cdot\left(1-(-2+b)\right)\cdot \left|x_1-x_2\right| 表示
由第一问可知 x_1+x_2=4b, \; =2b^2+2,\; \left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{2}\sqrt{b^2-1}
代入得 S=\sqrt{2}(3-b)\sqrt{b^2-1}
所以求出b就完事了
因为 \tan{\angle{PAQ}}=2\sqrt{2}\quad\\quad \tan{\frac{\angle{PAQ}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\\quad k_{PA}=\sqrt{2}
所以 \left\{\begin{array}{c} y=\sqrt{2}(x-2)+1 \\ \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1 \end{array}\right.
此处这么化简，不要强行展开
\begin{} & x^2-2\left[\sqrt{2}(x-2)+1\right]^2-2=0\\ \ \quad & x^2-2\left[2(x-2)^2+2\sqrt{2}(x-2)+1\right]-2=0\\ \ \quad & 4(x-2)^2+4\sqrt{2}(x-2)=x^2-4\\ \ \quad & 4x-8+4\sqrt{2}=x+2\\ \ \quad & x_P=\frac{10-4\sqrt{2}}{3} \end{}
从而 y_P=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}
从而 y_P=-x_P+b \quad\\quad b=\frac{5}{3}
所以 S=\frac{16\sqrt{2}}{9}
第二问花了10分钟不到，依然很常规的题目数学拆补法，圆锥曲线最忌讳上来啥也不干先联立。
四、以 22 题第一问为例
各自求完导后得到 f_{min}=a-a\ln(a) ， g_{min}=1+\ln(a) ，此处 0">a>0
所以有 \begin{} a-a\ln(a)&=1+\ln(a)\\ \ \quad (a+1)\ln(a)&=a-1 \end{}
那些卡住的，估计就止步于此了，或者只能看出 1 是根
接下来正确的做法是
看出1是方程的根，然后移项构造函数 y=(a+1)\ln(a)-a+1 ，证明该函数单调，就可以说明方程只有1为根
求完导，得到导函数为 y'=\ln(a)+\frac{1}{a}
此处其实需要证明 0">y'>0 ，可以通过继续求导或者借助 \ln(x) \le x-1 这个不等式放缩
即 y'=\frac{1}{a}+\ln(a)=\frac{1}{a}-\ln\left(\frac{1}{a}\right) \ge \frac{1}{a}-(\frac{1}{a}-1)=1
然后把过程完善一下，就可以证明 a=1 是唯一的解了。
细看一下，其实说难也不难，只不过这样的第一问相对于往年送分的第一问来说难度提升了不少。
这就导致，许多原先靠着将中低档的题的分数全部拿到，放弃难题的人直接吃瘪。
总结
整张试卷的送分题数量(大题)比往年少，最高难度的题可能不及往年。
以前数学一般的人很多都是这种策略，靠着将送分题和中档题拿到手，能拿个100到110分数学中上的人，放弃极个别高难题，可以拿到甚至130分数学优秀和非常好的人，极个别高难题也未必能做出来，最多也就140。状态不好粗心一点，可能还考不过一些数学中上的人今年对于数学优秀的人来说，因为没有高难题的存在，可以拿到140甚至145而那些基础一般，靠着送分题和中低档题拿分的人就原形毕露了，100分可能都危险
用一张比较夸张的图来描述就是
个人认为这是一张很不错的试卷，数学试卷早该像今年这样了，不然数学好的人真拉不开差距。